מכפלה סקלרית בגישה אלגברית – אורך, זווית, ניצבות ושטחוקטורים 472 · שיעור 25
וקטורים · שאלון 472
שיעור 25: מכפלה סקלרית בגישה אלגברית – אורך, זווית, ניצבות ושטח
פרק 5 – מערכת צירים במרחב (גישה אלגברית)
1נוסח השאלה
2סעיף א – הווקטורים
3סעיף ב – האורכים
4סעיף ג – הזווית BAC
5סעיף ד – וקטור מאונך
6סעיף ה – שטח המשולש
📄 נוסח השאלה
נתונות הנקודות A(2 , 1 , 0) , B(4 , 3 , 1) , C(0 , 3 , 4).
א. מצאו את הווקטורים AB ו־AC.
ב. חשבו את האורכים של AB ושל AC.
ג. חשבו את גודל הזווית BAC.
ד. מצאו את k שבעבורו הווקטור (k , 3 , 2) מאונך לווקטור AB.
📄 נוסח השאלה · המשך
ה. חשבו את שטח המשולש ABC.
סעיף א – הווקטורים
AB = (xB − xA , yB − yA , zB − zA)
📐 וקטור בין שתי נקודות
נציב B(4 , 3 , 1) , A(2 , 1 , 0):
AB = (4 − 2 , 3 − 1 , 1 − 0)
AB = (2 , 2 , 1)
AC = (xC − xA , yC − yA , zC − zA)
📐 וקטור בין שתי נקודות
נציב C(0 , 3 , 4) , A(2 , 1 , 0):
📐 וקטור בין שתי נקודות
AB = B − A
(xB − xA , yB − yA , zB − zA)
(xB − xA , yB − yA , zB − zA)
📐 וקטור בין שתי נקודות
AB = B − A
(xB − xA , yB − yA , zB − zA)
(xB − xA , yB − yA , zB − zA)
סעיף א – הווקטורים · המשך
נציב C(0 , 3 , 4) , A(2 , 1 , 0):
AC = (0 − 2 , 3 − 1 , 4 − 0)
AC = (−2 , 2 , 4)
✅ פתרון סופי: AB = (2 , 2 , 1) , AC = (−2 , 2 , 4)
סעיף ב – האורכים
|AB| = √x2 + y2 + z2
📐 אורך וקטור לפי שיעורים
נציב AB = (2 , 2 , 1):
|AB| = √22 + 22 + 12
|AB| = √9 = 3
|AC| = √x2 + y2 + z2
📐 אורך וקטור לפי שיעורים
נציב AC = (−2 , 2 , 4):
📐 אורך וקטור לפי שיעורים
|(x , y , z)| = √x2 + y2 + z2
📐 אורך וקטור לפי שיעורים
|(x , y , z)| = √x2 + y2 + z2
סעיף ב – האורכים · המשך
נציב AC = (−2 , 2 , 4):
|AC| = √(−2)2 + 22 + 42
|AC| = √24 ≈ 4.90
✅ פתרון סופי: |AB| = 3 , |AC| = √24 ≈ 4.90
סעיף ג – הזווית BAC
AB · AC = x1x2 + y1y2 + z1z2
📐 מכפלה סקלרית לפי שיעורים
נציב AB = (2 , 2 , 1) , AC = (−2 , 2 , 4):
AB · AC = 2 · (−2) + 2 · 2 + 1 · 4
AB · AC = −4 + 4 + 4 = 4
cos(∡BAC) = AB · AC|AB| · |AC|
📐 זווית בין וקטורים
נציב AB · AC = 4 , |AB| = 3 , |AC| = √24:
📐 מכפלה סקלרית לפי שיעורים
(x1 , y1 , z1) · (x2 , y2 , z2) = x1x2 + y1y2 + z1z2
📐 זווית בין וקטורים
cos(∡) = a · b|a| · |b|
סעיף ג – הזווית BAC · המשך
נציב AB · AC = 4 , |AB| = 3 , |AC| = √24:
cos(∡BAC) = 43 · √24 ≈ 0.2722
∡BAC ≈ 74.21
✅ פתרון סופי: ∡BAC ≈ 74.21 מעלות
סעיף ד – וקטור מאונך
(k , 3 , 2) · AB = 0
📐 וקטורים מאונכים
נציב AB = (2 , 2 , 1):
(k , 3 , 2) · (2 , 2 , 1) = 0
2k + 6 + 2 = 0
📐 מכפלה סקלרית לפי שיעורים
2k = −8
k = −4
📐 וקטורים מאונכים
a ⊥ b ⟺ a · b = 0
📐 מכפלה סקלרית לפי שיעורים
(x1 , y1 , z1) · (x2 , y2 , z2) = x1x2 + y1y2 + z1z2
סעיף ד – וקטור מאונך · המשך
k = −4
בדיקה: (−4) · 2 + 3 · 2 + 2 · 1 = −8 + 6 + 2 = 0 ✓
✅ פתרון סופי: k = −4
סעיף ה – שטח המשולש
שתי צלעות והזווית ביניהן:
S = AB · AC · sin(∡BAC)2
📐 שטח משולש (שתי צלעות והזווית ביניהן)
נציב AB = 3 , AC = √24 , ∡BAC ≈ 74.21 מעלות:
S = 3 · √24 · sin 74.212 ≈ 3 · 4.899 · 0.96232 ≈ 7.07
✅ פתרון סופי: S ≈ 7.07 יחידות שטח
📐 שטח משולש (שתי צלעות והזווית ביניהן)
S = a · b · sin(∡)2
📌 סיכום התשובות
סעיף א
AB = (2 , 2 , 1)
AC = (−2 , 2 , 4)
AC = (−2 , 2 , 4)
סעיף ב
3 , √24 ≈ 4.90
סעיף ג
≈ 74.21 מעלות
סעיף ד
k = −4
סעיף ה
≈ 7.07
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא